プログラム検証：背景と表記法

目次

• はじめに
• 仕様と計算のギャップ
  • 例：グラフの彩色
• 抽象計算装置
  • 例1：有限オートマトン
  • 例2：チューリングマシン
• ギャップを埋める
  • 例3：有限オートマトンの全体性
• 結論
• 参考文献

はじめに

本研究は、ソフトウェア工学における重要な領域であるプログラム検証に焦点を当てています。この領域は、理論的な数学的原理と実用的な計算応用を統合します。ここでは、アルゴリズムの仕様とその実装の一致を、抽象的な計算モデルの操作を通じて行います。この研究は、プログラムの正確性と信頼性を確保することに関連するセキュリティ上の課題に対処する上で重要です。体系的な分析フレームワークを用いて、有限オートマトンからチューリングマシンまでの計算パラダイムの範囲を横断し、それらの役割とプログラム検証の広範な文脈における影響を決定します。本論文の目的は、プログラム検証に関する包括的で詳細な視点を概説し、#Web3時代の信頼性の高いソフトウェア手法の強化と進化におけるその重要性を強調することです。

可算なドメイン$X$と対応するコドメイン$Y$において、部分関数を含む定義済みのクラス$S \subset X \rightharpoonup Y$を考えます。同時に、計算マシン$\mathfrak M : P \to X \rightharpoonup Y$を想定し、プログラム$p \in P$（$P$は可算集合）と入力$x \in X$を処理して、潜在的に出力$y \in Y$を生成します。これは$\mathfrak M_p(x)=y$と表されます。ここで「潜在的に」とは、$\mathfrak M$が決定的なマシンとして動作し、全体性や決定性などの属性がエンジニアによってプログラム設計に組み込まれていることを意味します。したがって、プログラム検証の主な課題は次のように定式化できます。

$p$、$\mathfrak M$、そして$S$が与えられたとき、命題$\mathfrak M_p \in S$が真であるかどうかを確かめよ。

仕様と計算のギャップ

この検証問題の複雑さは、$S$の記述的なフレームワークと$\mathfrak M_p$の操作的なダイナミクスとの間に顕著な意味的分離が存在することに起因します。関数クラスを定義する従来のアプローチは、宣言型の方法論を採用し、入力と出力の論理的な相互関係を強調しつつ、評価プロセスを概念的な「ブラックボックス」として抽象化する傾向があります。対照的に、$\mathfrak M_p$の機能的なパラダイムは決定的なモダリティに従い、事前定義された一連の操作ルールを体系的かつ帰納的に適用します。このプロセスは、特定のプログラム$p$と与えられた入力$x$に基づいてマシンの内部状態を逐次的に変更し、事前定義された終了条件が満たされるまで続き、離散的な出力$y$の生成で終了します。注目すべきは、この操作プロセスが異なる入力と出力のペア間の論理的一貫性を本質的に考慮していないことであり、$\mathfrak M$がチューリング完全性を持つ場合、停止問題[1]に従って終了を保証しないことです。

また、しばしば人々が真の検証問題を、より弱いバリエーションと混同するという注目すべき点があります。

$p$、$\mathfrak M$、そして特定の入力出力ペアの集合$S’ \subseteq X \times Y$が与えられたとき、命題$\forall x \in X, (x, \mathfrak M_p(x)) \in S’$が真であるかどうかを確かめよ。

このような問題設定（直感的には手動のプログラムテストの本質によく一致します）では、例えば全単射性のような重要な関数特性を表現することができません。この違いを理解することで、$\mathfrak M_p$の絶対的な正確性を検証することと、予め定められた許容応答の範囲への適合性を検証することの微妙な違いを区別できます。

例：グラフの彩色

前述の検証課題を説明するために、任意のループのない平面グラフの頂点を彩色するアルゴリズムの設計を目的としたプログラミングコンテストの仮想的なシナリオを考えてみましょう。目標は、隣接する頂点が同じ色にならないように、最小限の色数を使用することです[2]。この文脈では、特定の入力に対する解の正確性の検証は簡単ですが、アルゴリズムの絶対的な最適性（すなわち、全ての入力において他のどのアルゴリズムよりも効率的であること）のようなより抽象的な問いに対処することは、より深い課題を提示します。広範なテストスイートの可能性にもかかわらず、これらのパラメータ内でのアルゴリズムの失敗の欠如は、普遍的な適用性を確実に保証するものではありません。さらに、アルゴリズムの内部メカニズムの分析的なレビューは重大な困難を伴います。例えば、次のようなアルゴリズムを考えてみましょう。

1. グラフにエッジが含まれているか評価する；エッジがない場合、グラフ全体を同じ色で塗り、終了する。
2. グラフが二部グラフであるか判断する；もしそうであれば、2色で彩色し、終了する。
3. 可能な3色彩色解を総当たりで評価する；成功したら、終了する。
4. 同様に、可能な4色彩色解を総当たりで探索する；解が見つかったら終了する。
5. 解がない場合、「予期せぬエラー！」で終了する。

このアルゴリズムに従っていることを確認する詳細なコード監査を行っても、依然として不確実性が残ります—特に、このアルゴリズムが総当たり探索戦略に依存しているため、「予期せぬエラー！」で終了せずに常に決定的な結果に到達できるかどうかという疑問が生じます。この質問に肯定的に答えるために、数学者たちは四色定理（アッペルとヘイケン、1976年）を証明する必要がありました—これはグラフ理論における画期的な結果であり、その最も現代的なバリエーションでも、633の還元可能な構成の詳細な分析が必要です[3]。このシナリオは、理論的な仕様とその実際のアルゴリズム的実現とのギャップを埋めることの複雑な性質を強調しており、後者が前者と完全に一致していることを検証することが困難な課題であることを示しています。

これは、悪名高い仕様–アルゴリズム–実装のワークフローチェーンの形式的検証について話すとき、最も困難なタスクはアルゴリズムと実装の間の不一致を検出することではないという考えを完璧に示しています—実際、標準的な産業慣行はこのケースを既にかなり理解可能なものにしています。主なギャップは仕様とアルゴリズムの間にあり、後者が前者に従うことを確実にすることは、時に仕様とアルゴリズムの複雑さの両方を容易に凌駕する途方もない努力を要することがあります。

抽象計算装置

アルゴリズムの仕様とそれぞれの実装との間の理論的な不一致を解決するにあたり、両方の構成要素を厳密に形式化することが不可欠です。我々の議論は、読者にとってよりアクセスしやすいであろうアルゴリズムの視点から始まります。包括的な抽象化レベルに到達するには、プログラミング言語や計算プラットフォームの特異性、そして計算モデル間の固有の違いを超越する必要があります。このアプローチは、二つの基本的な前提に基づいています。

1. アルゴリズムの表現の効率は、しばしば使用される計算モデルに依存します。例えば、チューリングマシン[4]は固定サイズのデータを処理するアルゴリズムにとって最高のモデルであり、直感的な理解と簡潔さを提供します。逆に、マルコフアルゴリズム[5]は複雑な文字列操作に最適なフレームワークを提供します。木構造データを操作するアルゴリズムはラムダ計算[6]を介して表現されます。各計算モデルの独自の属性は、多様なアルゴリズム構造を正確に表現するために、適応的で普遍的に適用可能な形式言語を必要とします。
2. あるアルゴリズムの計算要求は、チューリングマシンやその同等物の広範な能力を必要としません。例えば、基本的な正則言語[7]の分類子を一般的な再帰関数で構築することは不要な複雑さかもしれません。計算能力が制限された計算モデルを通じて、より効率的な形成が可能であり、そのようなアルゴリズムの推論プロセスを簡素化します。したがって、チョムスキー階層[8]内のさまざまなレベルを設定できる普遍的な形式言語は、分析努力と認知資源を節約する上で重要です。

これらを念頭に置いて、あらゆる抽象的な逐次オートマトンの二つの重要な要素を定義しましょう。

• 全ての可能なメモリ状態の可算無限集合$M$、および環境とのインターフェースを定義する関数$in : X \to M$と$out : M \to Y$;
• メモリ変換を行う原子的な操作を表す有限集合$Ops = \{op_i : M \to (M \times R_i) \cup \{\blacktriangledown\}, i=\overline{1,n}\}$、ここで各$R_i$は$op_i$の戻り値の有限集合であり、$\blacktriangledown$はプログラムの停止を表す記号です。

このような用語で、プログラム$p$に対する$\mathfrak M_p$の各個別の実行（最終的に終了する場合）は、関数の合成として表すことができます：$y = (out \circ \overline{op_{i_k}} \circ \ldots \circ \overline{op_{i_1}} \circ in)(x)$。ここで、$\overline{op_i} : M_i \to M$は、$op_i$をそのメモリへの効果に投影し、$M_i = \{m \in M \mid op_i(m) \neq \blacktriangledown\}$は戻り値を無視してメモリ効果のみを考慮します。マシンが各特定の入力$x$に対して適切な演算子のシーケンス$op_{i_1}, \ldots, op_{i_k}$をどのように選択するかは謎のままです。自然に、その挙動はプログラムによって定義され、これはマーク付き有向多重グラフ$p = \langle V, P, E, V_\blacktriangle \rangle$として表すことができます。ここで：

• $V$は異なる実行状態を表す頂点の有限集合;
• マーク$P : V \to Ops$は、アクティブ化時に実行される演算子を状態に関連付けます;
• マーク付きエッジの集合$E \subseteq \{(v, r, w) \mid v, w \in V, r \in R_{P(v)}\}$は、実行された演算子$P(v)$の戻り値$r$に依存して、あるアクティブ状態$v$から別の$w$への可能な遷移パスを表します;
• 部分集合$V_\blacktriangle \subseteq V$は、プログラム実行の潜在的な開始状態を示します。

もし$V_\blacktriangle$が正確に一つの状態からなり、各ペア$(v,r) \in V \times R_{P(v)}$に対して、$E$に含まれるちょうど一つの$w \in V$が存在して$(v, r, w) \in E$を満たすならば、そのようなプログラムは決定的と呼ぶことができます。この抽象マシンとプログラムの表記を用いることで、パワーヒエラルキーにおける幅広いオートマトンを表現できます。

例1：有限オートマトン

アルファベット$\Sigma$上の受理有限状態オートマトン[9]のクラスは、$\mathfrak M^F$というマシンとして記述できます。メモリ$M = \Sigma^* \cup \{\mathbf T, \mathbf F\}$は、任意の文字列または成功/失敗の終了状態を保持します。その実行に必要な二つの演算子は：

• $op_{\tt next/t}$で$R_{\tt next/t} = \Sigma \cup \{\blacktriangledown\}$、これはメモリから最初のシンボルを消費し、それを戻り値として返します。空文字列の場合、メモリを成功状態$\mathbf T$に設定し、$\blacktriangledown$を返します。メモリが既に終了状態を保持している場合、プログラムを終了します。
• $op_{\tt next/f}$で同一の$R_{\tt next/f} = \Sigma \cup \{\blacktriangledown\}$、全体的な動作は同じですが、メモリを失敗状態$\mathbf F$に設定します。

この例のプログラムグラフの構築は簡単です—有限オートマトンの各状態は、$\blacktriangledown$でマークされたループエッジを持つ正確に一つの頂点として表されます。

例2：チューリングマシン

見逃せないもう一つの例は、空白シンボル$\gamma_0$を含むアルファベット$\Gamma = \{\gamma_0, \ldots, \gamma_n\}$上のチューリングマシン$\mathfrak M^T$です。そのメモリ$M = \mathcal{T} \times \mathbb{Z}$は、テープの状態$\boldsymbol{t} \in \mathcal{T} \subset \mathbb{Z} \to \Gamma$とヘッドの位置$h \in \mathbb{Z}$の両方を保持します。$\mathfrak M^T$の実行に必要な演算子の集合は以下を含みます。

• $op_{\tt read}$で$R_{\tt read} = \Gamma$、メモリに影響を与えず、ヘッド下の現在のシンボル$\boldsymbol{t}(h)$を返します。
• $op_{\tt write_0}, \ldots, op_{\tt write_n}$で$R_{\tt write_0} = \ldots = R_{\tt write_n} = \{\checkmark\}$、対応する個々のシンボル$\gamma_i \in \Gamma$をヘッド下のテープに書き込み、$\boldsymbol{t}$を$\boldsymbol{t}|_h^{\gamma_i}$に置き換えます。
• $op_{\tt left}$と$op_{\tt right}$で$R_{\tt left} = R_{\tt right} = \{\checkmark\}$、ヘッドを左または右に移動し、$h$をデクリメントまたはインクリメントします。
• 必須の$op_{\blacktriangledown}$、これはプログラムの実行を終了します。

ここで、プログラムグラフの構築も比較的簡単です。任意のチューリングマシンを$\mathfrak M^T$に変換する際、各状態に対応する$op_{\tt read}$ノード（または受理状態の$op_{\blacktriangledown}$ノード）を作成し、これらを交差する$op_{\tt write_i}$と$op_{\tt left|right}$の中間ノードの連鎖で接続します。

ギャップを埋める

さて、実行セマンティクスの定義を概説したので、検証問題に戻りましょう。上記の説明を用いて、「$\mathfrak M$が与えられたとき」の意味を理解し始めることができます。$\mathfrak M$の実行セマンティクスは、その演算子の集合（$op_1, \ldots, op_n$）が保持する特性の公理的な記述を通じて表現できます。$\mathfrak M_p \in S$を確実にするためには、$x$と$\mathfrak M_p(x)$の間の必要な論理的なつながりを導き出し、$p$の制御フローがそれに従う演算子のシーケンスを生成できることを検証します。これは複数の方法で行うことができます。例えば、$p$の記号的な計算を追求し、主な仮定と矛盾する分岐を排除し、自動化された式の構成が決定木を尽くすことを期待することができます。あるいは、有用な中間不変量を定式化し、各実行状態がそれを保持することを証明することで、必要な命題の手動証明を構築することができます。

例3：有限オートマトンの全体性

有限オートマトンに関するよく知られた事実を$\mathfrak M^F$の特性として述べましょう。

任意の決定的なプログラム$p$と入力$x \in \Sigma^*$に対して、$\mathfrak M^F_p(x)$の実行は$\mathbf T$または$\mathbf F$状態で停止する。

これは、$\mathfrak M^F_p$の実行時の入力文字列の長さに関する単純な帰納法で証明できます。

1. $\left| x \right| = 0$の場合：アクティブな状態が$op_{\tt next/t}$（または$op_{\tt next/f}$）でマークされているとき、その実行はメモリを$\mathbf T$（または$\mathbf F$）状態に設定し、$\blacktriangledown$でマークされたエッジを通じて遷移を引き起こします。その後の状態のマークに関係なく、プログラムは終了します。基礎となるケースは証明されました。
2. $\left| x \right| = l+1$の場合：アクティブな状態のマークに関係なく、最初の文字$x$はその実行中に消費されます。次のアクティブな状態では、メモリは長さ$l$の文字列を保持し、したがって帰納的なステップも証明されます。$\Box$

この非形式的な証明は、特定の入力や特定のプログラムだけでなく、任意のプログラムと入力に対して動作するオートマトンのクラス全体についての事実を保証する推論の主要なデモンストレーションとして機能します。

結論

本論文では、プログラム検証の領域における予備的な探求を提示し、その複雑さに関する基礎的な洞察を提供しました。提供された例は、理解を容易にするために意図的に簡略化されていますが、それにもかかわらず、この分野に固有の深い課題を強調しています。アルゴリズムとその仕様を一致させる試みは、四色定理のような複雑な数学的推測に依存することがあり、その証明は直接的な分析手法を回避し、むしろ計算的な検証を必要とする場合があります。

この探求は、現代のソフトウェア工学の重要な側面を強調しています：プログラム検証における堅牢で自動化されたツールの必要性です。そのようなツールは、複雑なシステムが多面的な仕様に準拠していることを保証するために特に必要です。見てきたように、一見簡単なアルゴリズムでさえ、深く層状の論理構造に依存することがあり、手動による検証は困難で、実用的でない作業となる可能性があります。ソフトウェアの信頼性と正確性が最重要視される時代において、プログラム検証の分野は単なる学術的な関心事ではなく、信頼性が高く安全なソフトウェアシステムの開発における礎石として浮上しています。

プログラム検証の方法論とツールの継続的な進化は、ソフトウェア工学における将来の課題に対処する上で間違いなく重要な役割を果たし、それによって技術の進歩とデジタル化が進む世界におけるその応用に大きく貢献するでしょう。

参考文献

• 停止問題。wiki.c2.
• グラフの彩色。数学百科事典.
• 四色定理。GitHub.
• チューリングマシン。数学百科事典.
• 正規アルゴリズム。数学百科事典.
• ラムダ計算。数学百科事典.
• 正則事象。数学百科事典.
• 形式言語とオートマトン。数学百科事典.
• 有限オートマトン。数学百科事典.

この論文の議論に参加してください: